Conferencias

En esta charla, comenzaré explicando el carácter no hamiltoniano de los sistemas no holonómos, para luego estudiar el “problema de hamiltonización” desde un punto de vista geométrico. Al utilizar simetrías y las integrales primeras del sistema, definiremos explícitamente un nuevo corchete en el espacio reducido que codifica la dinámica no holonóma y que, en muchos ejemplos, será un verdadero corchete de Poisson lo que hará que el sistema sea hamiltoniano después de una reducción. En general, veremos que el nuevo corchete tendrá una foliación casi simpléctica determinada por las integrales primeras.

La Relatividad General (RG) es la teoría física que relaciona la distribución de materia en el espacio-tiempo y su geometría. Como tal, un lenguaje adecuado para su descripción es la geometría diferencial. La gravedad de Lovelock, por su parte, es una generalización de RG (en el vacío) estudiada por Lovelock. Su idea fue caracterizar todos los tensores de orden 2 simétricos, sin divergencia y que se pudieran construir a partir del tensor métrico y sus derivadas hasta segundo orden. En dimensión 4, resulta que los únicos tensores que verifican estas propiedades son el mismo tensor métrico y el tensor de Einstein. Además Lovelock demuestra que dicho tensor codifica las ecuaciones de Euler-Lagrange de una densidad Lagrangiana que es un polinomio en la curvatura (pseudo)riemanniana.
Por otro lado, los formalismos unificados en Mecánica y teorías de campo son de utilidad cuando el Lagrangiano que define la dinámica del sistema bajo estudio es singular. Por tal razón, dicho formalismo encuentra aplicación inmediata en el estudio de las ecuaciones de movimiento de la gravedad de Einstein-Hilbert y la gravedad de Palatini. En este segundo caso, se apela a un camino indirecto para la construcción del formalismo unificado: Inspirados en la construcción de problemas Lepage-equivalentes para problemas variacionales de Griffiths, se formula la teoría de campos correspondiente a la gravedad de Palatini como un problema variacional de Griffiths; posteriormente, la correspondencia entre problemas variacionales Lepage-equivalentes y problemas unificados permite hallar una formulación unificada para gravedad de Palatini.
En la presente charla se describirán los avances alcanzados en la formulación unificada para la gravedad de Lovelock.

En un sistema no lineal un punto de impasse representa una singularidad más allá de la cual la solución no se puede continuar. Este fenómeno se encuentra muchas veces en los modelos de circuitos no lineales e implica que dicho modelo es defectuoso. Luego, debe ser remodelado (aumentando su dimensión con capacitancias y/o inductancias parásitas), de modo de poder predecir el cambio desde un movimiento lento a uno rápido -fenómeno de salto- observado muchas veces en la práctica.
En esta charla presentamos una familia de circuitos no lineales que se representa por Ecuaciones Diferenciales Implícitas -EDIs-, y establecemos condiciones que garantizan la existencia de puntos de impasse en esta familia. A partir de resultados generales que aseguran la existencia de puntos de impasse para cierta clase de EDIs, desarrollamos un método para detectar puntos de impasse en este tipo de circuitos de una manera extremadamente directa, que se ilustra con ejemplos de aplicación.

La noción de conexión en distintos tipos de espacios fibrados ha sido ampliamente usada en Geometría Diferencial y, también, en Mecánica Geométrica. Las aplicaciones de las conexiones suelen apuntar a poder describir objetos asociados a los espacios fibrados de manera intrínseca y permiten, en muchos casos, hacer manifiestas propiedades geométrico-topológicas de dichos espacios.
La noción de conexión discreta en un fibrado principal fue introducida por M. Leok, J. Marsden y A. Weinstein por razones fundamentalmente pragmáticas, para poder estudiar un proceso de reducción de sistemas mecánicos discretos que imita, en algún sentido, el proceso bien conocido para sistemas mecánicos (continuos) desarrollado por H. Cendra, J. Marsden y T. Ratiu. Esta idea ha sido aplicada exitosamente a varios procesos de reducción de sistemas dinámicos discretos.
Nuestro interés en esta charla es en aspectos geométricos de las conexiones discretas en fibrados principales. En particular, discutiremos varias maneras en que estas conexiones discretas pueden ser definidas. También veremos algunas de sus propiedades geométricas y problemas abiertos.

En esta charla hablaremos de problemas de control óptimo discretos basándonos en el enfoque de [Colombo, Ferraro, Martín de Diego, J. Nonlinear Sci., 26(6), 2016]. Mediante un Lagrangiano discreto en TQxTQ se obtienen ecuaciones para las trayectorias discretas óptimas en TQ. Discutiremos los inconvenientes prácticos que surgen al buscar trayectorias óptimas con condición inicial y final dadas, y propondremos una estrategia de resolución adaptada a este tipo de problemas. Esta estrategia se extiende además al caso reducido cuando Q=G es un grupo de Lie y el sistema es G-invariante.

En esta charla vamos a discutir algunos aspectos de los sistemas dinámicos descritos por una estructura de Dirac y una función energía. A continuación, veremos cómo es posible generalizar dichos sistemas si se consideran familias de Morse. Se hará hincapié en los ejemplos.

Recientemente, una teoría de Hamilton-Jacobi para sistemas dinámicos generales, definidos sobre espacios fibrados, ha sido desarrollada. En esta charla vamos a aplicar dicha teoría al caso particular de sistemas Hamiltonianos de contacto, como los que aparecen en la termodinámica. Primero estudiaremos las soluciones parciales y completas de la ecuación de Hamilton-Jacobi (EHJ) asociada a tales sistema, y luego veremos que el conocimiento de cierto tipo de soluciones completas, que hemos llamado pseudo-isotrópicas, permite la construcción, a menos de cuadraturas, de las curvas integrales del sistema. Esto extiende a variedades de contacto un resultado ya conocido en el contexto de variedades simplécticas y de Poisson.

Los Algebroides de Courant son una generalización, en el contexto de los fibrados tangente y cotangente de una variedad diferenciable arbitraria, de las estructuras de Triples de Manin sobre álgebras de Lie. En este escenario de fibrados vectoriales autoduales, íntimamente ligado a las estructuras de Dirac, surge la Geometría Compleja Generalizada, de fuerte impacto en Física Teórica, la cual provee el soporte geométrico para el desarrollo de las Teorías de Campos Dobles, orientada a construir naturalmente teorías T-autoduales. En esta charla se describirán estas relaciones, y se presentarán algunos resultados sobre estructuras de (cuasi) producto-complejo en algebroides de Courant, y su relación con Dualidad T.

En los últimos años, el interés por el estudio de los Hamiltonianos no hermíticos, particularmente en relación con los sistemas cuánticos abiertos, se vio en notable crecimiento. Entre estos Hamiltonianos, los operadores pseudo-hermíticos desempeñan un papel central. El inicio formal de este tema se debió a Bender y Boettcher en 1998 con el estudio del célebre Hamiltoniano H_1 = p^2+x^2(ix), que aun sin ser autoadjunto posee espectro real. La característica más relevante de este Hamiltoniano, que pertenece a la familia paramétrica H_ε = p^2 + x^2(ix)^ε, y de otros Hamiltonianos que se estudiaron más tarde es la simetría con respecto a la reversión de Paridad-Tiempo (PT simetría). Estos hamiltonianos con simetría PT han demostrado ser muy útiles en la comprensión de problemas físicos por ejemplo cavidades de microondas, difusión atómica, circuitos electrónicos, etc.
La formalización de la dinámica en la evolución de sistemas abiertos modelados por Hamiltonianos no hermíticos presenta dificultades producto de la pérdida de la propiedad unitaria del operador evolución. La necesidad de definir nuevos productos internos que permitan una buena definición de la dinámica del sistema ha sido el punto central en el análisis de este tipo de problemas. Construcciones del Análisis funcional como productos internos indefinidos, C simetrías, han conducido a responder algunos de los interrogantes que fueron surgiendo.
En esta charla presentaremos la cronología de los problemas que se fueron presentando en el tema, algunas de las soluciones propuestas, los aspectos matemáticos subyacentes imprescindibles para abordarlos y algunos problemas abiertos en la actualidad. Presentaremos también algunos ejemplos particulares de familias de Hamiltonianos no hermíticos que se desprenden de problemas físicos con álgebras deformadas, el estudio de su dinámica en el tiempo y el análisis de parámetros como la compresión de incerteza (squeezing).

En esta charla se dará una introducción general al caos en mapas y en ecuaciones diferenciales. Luego se mostrarán algunos ejemplos de sistemas híbridos con comportamiento caótico. A continuación se darán resultados para dos ecuaciones diferenciales con retardo no suaves. Una de ellas tiene un ciclo límite estable para todos los valores del retardo y la otra presenta una cascada de doble período que desemboca en un atractor caótico. Finalmente, para los últimos sistemas mencionados se estudiará el comportamiento asintótico de las soluciones para valores grandes del retardo. Se obtiene un sistema singularmente perturbado que degenera en un mapa discreto. Se relacionarán las soluciones de este mapa, caóticas o no, con las de la ecuación diferencial con retardo.