Conferencias

Reducción de mapa momento para sistemas no holónomos

En esta charla voy a presentar un proceso de reducción de sistemas no holónomos que admiten ciertos tipos de simetrías y cantidades conservadas. Estudiaremos una reducción del tipo Marsden-Weinstein que lleva en consideración estas cantidades conservadas y el carácter casi-simpléctico del sistema. La charla finalizará con la presentación de algunos ejemplos clásicos. Este es un trabajo en colaboración con M.E. Garcia, C. Tori y M. Zuccalli.

Grupoides simplécticos locales y aplicaciones

En esta charla, vamos a repasar la noción de grupoide simpléctico local y su relación con la geometría de Poisson. Presentaremos algunos resultados recientes que incluyen una construcción basada en EDOs (“sprays”), una descripción de las realizaciones simplécticas subyacentes y la construcción de funciones generatrices. Finalmente, describiremos algunas aplicaciones al problema de cuantización y, más especulativamente, al de discretización de flujos hamiltonianos en variedades de Poisson

Un proceso de reducción para sistemas Lagrangianos discretos forzados

Cuando un sistema mecánico presenta una simetría dada por la acción de un grupo de Lie, resulta interesante realizar algún proceso de reducción con el objetivo de obtener una dinámica que, en algún sentido, resulte más sencilla de describir. En esta charla, primero repasaremos un proceso ya conocido de reducción Lagrangiana para sistemas mecánicos discretos, haciendo uso de la noción de conexión discreta afín, y luego veremos cómo puede extenderse para incluir sistemas Lagrangianos discretos forzados.

Soluciones explícitas de las ecuaciones del energy-shaping

El método “energy-shaping” es un procedimiento sistemático que permite la estabilización de puntos críticos (no estables) de un sistema Hamiltoniano a través de la acción de ciertos dispositivos agregados al mismo: los actuadores. Se basa en la resolución de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales conocidas como “matching conditions.” Dada una solución de las mismas, el método da una fórmula, en términos de tal solución, para las fuerzas que deben realizar los actuadores y así lograr la estabilización buscada. En esta charla veremos que es posible hallar expresiones concretas (a menos de cuadraturas) de las matching conditions bajo condiciones bastante generales, y por ende tener expresiones concretas de las fuerzas asociadas. Hasta el momento, tales expresiones sólo aparecían en ejemplos aislados.

From Geometry to Numerical Discretization

In the talk, we will briefly discuss some discretization techniques for different dynamical systems with the idea of preserving some of their main geometrical invariants.
Depending on the particular system, it would be interesting to preserve symplectic, Poisson or contact structures, to preserve the energy behavior or/and the symmetry of the given system.

Descomposiciones Lagrangianas y ortogonales de álgebras de Lie y estructuras de cuasi producto complejo

Mostraremos, en un espacio vectorial, la relación entre la coexistencia de una descomposición en suma directa de subespacios Lagrangianos y otra de subespacios ortogonales, con la definición de una estructura de cuasi producto complejo sobre el espacio vectorial. Llevando este resultado a álgebras de Lie, veremos cómo desacoplar un triple de Manin para obtener un álgebra de Lie suma directa y, recíprocamente, cómo construir un triple Manin a partir de un álgebra de Lie suma directa, en ambos casos utilizando soluciones cuasi-triangulares factorizables de la ecuación de Yang-Baxter modificada.

Desde los sistemas simplécticos Hamiltonianos a los de Kirillov… y en medio las estructuras de Poisson y de contacto

Presentamos los procesos de reducción de un sistema simpléctico Hamiltoniano que posee simetrías estándares por un grupo de Lie y simetrías de reescalado. Veremos cómo en los correspondientes sistemas reducidos aparecen estructuras de Poisson, de contacto, de Jacobi o de Kirillov que nos permiten describir la dinámica reducida como una dinámica Hamiltoniana en un cierto sentido.

Un recorrido a través de diferentes formulaciones del principio de incertidumbre cuántica: momentos, entropías, distancias y más

En los sistemas cuánticos, el conocimiento simultáneo de los valores de dos o más observables incompatibles se encuentra limitado. Matemáticamente, este principio de incertidumbre se expresa mediante relaciones de desigualdad para ciertas medidas de incerteza. Originalmente se utilizó la varianza del operador como estimador de la incerteza vinculada con su medición o preparación, obteniéndose las conocidas desigualdades de Heisenberg-Robertson-Schrödinger. Otras formulaciones han mostrado ser más adecuadas en general. Presentamos una revisión (no exhaustiva) de algunas alternativas, basadas en medidas tales como momentos generalizados y entropías informacionales. Discutimos también planteos más generales que incluyen conceptos geométricos, extensiones de la relación de Landau-Pollak, información de Fisher, y otros.

Comparación de formalismos unificados alternativos para teoría de campos de segundo orden

El objetivo de esta charla será comparar los formalismos de la teoría clásica de campos de segundo orden presentados por Román-Roy y Prieto-Martinez (1) y por Gotay (2), particularizado para ese orden, como un medio para la construcción de correspondencias entre las soluciones de las ecuaciones de movimiento asociadas a este tipo de sistemas.
Para ello haremos primero una introducción de cada uno de los formalismos, donde veremos como son dichas ecuaciones de movimiento y las formas canónicas involucradas. Luego, para llevar a cabo la comparación entre las soluciones, vamos a definir una extensión del lagrangiano, el cual cobra sentido teniendo presente una descripción invariante del fibrado de multimomentos 2-simétrico.

Referencias
(1) Pedro Daniel Prieto-Martínez y Narciso Román-Roy, “A new multisymplectic unified formalism for second order classical field theories”, 2018.
(2) Mark J. Gotay , “An Exterior Differential Systems Approach to the Cartan Form”, 1991.

Ruptura de simetría en Hamiltonianos no hermíticos

Dentro del marco de la mecánica cuántica no hermítica, los operadores con simetría de paridad -tiempo (PT) ocupan un lugar
de importancia. En esta charla definiremos el marco conceptual general con las principales características de este tipo de sistemas. De manera especial, analizaremos el espectro como también el espacio de autofunciones.
Se presentarán casos particulares de Hamiltonianos con simetría PT actuando sobre espacios de dimensión finita e infinita.
Sobre estos últimos, analizaremos de forma particular el llamado hamiltoniano de Swanson, concentrando la atención en la zona de ruptura de la simetría PT.

Fases geométricas en Mecánica Cuántica